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Die Addition von Ordinalzahlen[1] ist rekursiv definiert als:

\alpha + \beta = \begin{cases} \alpha & \beta = 0 \\ \text{suc}(\alpha + \gamma) & \beta\;\text{Suc}\;\gamma \\ \text{sup}\{\alpha + \gamma \mid \gamma < \beta\} & \text{Lim}\ \beta \end{cases}

Es gilt:

  • Assoziativität: (α + β) + γ = α + (β + γ)
  • Linkskürzbarkeit: α + β = α + γβ = γ
  • Neutralität: α + 0 = 0 + α = α

Es gilt nicht:

  • Kommutativität: 1 + ω = ω < ω + 1. Die Summe von zwei Ordinalzahlen kann zwei verschiedene Werte annehmen, die Summe von drei Ordinalzahlen fünf. Die ersten Werte der Folge sind 2, 5, 13, 33, 81, 193, 449, 332, 33 · 81, 812, 81 · 193 und 1932 (Folge A005348 in OEIS).
  • Rechtskürzbarkeit: 1 + ω = 2 + ω ↛ 1 = 2

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Ordinal Addition.

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