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Gegeben sei eine Startzahl. Das nächste Glied einer Goodstein-Folge[1] wird gebildet, indem die Zahl zur Basis 2 erblich dargestellt wird, die Basis um 1 erhöht wird und von der so entstandenen Zahl 1 subtrahiert wird. Dieser Vorgang wiederholt sich mit der angenommenen Basis, bis die Folge 0 erreicht; dann bleibt sie konstant bei 0. „Erbliche Darstellung zur Basis n“ heißt, dass eine Zahl als Summe von n-er-Potenzen dargestellt wird, wobei die Exponenten, die Exponenten der Exponenten etc. auch auf diese Weise dargestellt werden, zum Beispiel:

266 = 28 + 23 + 2
266 = 222 + 1 + 22 + 1 + 2

Die Erhöhung der Basis führt zu:

B[2](266) = 333 + 1 + 33 + 1 + 3

Davon muss 1 subtrahiert werden. Es entsteht die Folge:

G0(266) = 266 = 222 + 1 + 22 + 1 + 2
G1(266) = B[2](266) − 1 = 333 + 1 + 33 + 1 + 2 ≈ 443 · 1036
G2(266) = B[3](G1) − 1 = 444 + 1 + 44 + 1 + 1 ≈ 32,3 · 10615
G3(266) = B[4](G2) − 1 = 555 + 1 + 55 + 1 ≈ 25,5 · 1010 920
G4(266) = B[5](G3) − 1 = 666 + 1 + 5 · 66 + 5 · 65 + … + 5 · 6 + 5 ≈ 354 · 10217 832

Trotz des rasanten Wachstums erreicht jede Goodstein-Folge irgendwann 0 (Satz von Goodstein). Paris und Kirby haben gezeigt, dass dies nicht in der Peano-Arithmetik beweisbar ist.

Für den Beweis konstruiert man eine Parallelfolge, in der die Basis durch eine unendliche Ordinalzahl (eine Ordinalzahl, die größer als jede natürliche Zahl ist) ersetzt wird, etwa ω. Es gilt zum Beispiel:

P0(266) = ωωω + 1 + ωω + 1 + ω
P1(266) = ωωω + 1 + ωω + 1 + 2

Die Erhöhung der Basis hat dann keine Auswirkung, da sie für die Parallelfolge sowieso durch ω ersetzt wird, wohl aber bewirkt die Subtraktion mit 1, dass die Ordinalzahlen verkleinert werden bis 0 erreicht wird, und da die Ordinalzahlen eine Wohlordnung haben, muss die Folge auch irgendwann 0 erreichen.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Weisstein, Eric W.: Goodstein Sequence.

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