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Zu den Hyperoperationen gehören die Addition, Multiplikation, Potenzierung sowie Operationen darüber hinaus. Ohne weitere Zusätze wird darunter die von Reuben Goodstein 1947[1] eingeführte Verallgemeinerung verstanden. Tatsächlich wurde sie bereits 1926 von David Hilbert mit Verweis auf Wilhelm Ackermann (siehe Ackermannfunktion) erwähnt. Kommutative Hyperoperationen wurden von Albert Bennett schon 1914 betrachtet.

Multiplikation ist grob definiert iterierte (wiederholte) Addition:

a\cdot b=\underbrace{a+a+\ldots+a+a}_b

Potenzierung ist iterierte Multiplikation:

a^b=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a\cdot a}_b

Diese Reihe lässt sich analog mit der iterierten Potenzierung (Tetration) fortsetzen, der iterierten Tetration (Pentation), der iterierten Pentation (Hexation) und so weiter. Allgemein wird von der n-Ation gesprochen (Benennung nach Goodstein), wobei n durch eine (alt)griechische Zahl ausgedrückt wird. Die n-Ation heißt auch hypern. Der zweite Operand (Exponent oder, wie er von diesem Wiki auch genannt wird, n-Ator) ist die Anzahl der Vorkommnisse des ersten Operanden (Basis, n-And), die durch den Operator verknüpft sind, der iteriert wird. n heißt Stufe oder Rang. Für die Tetration (n = 4) gilt zum Beispiel:

^ba = \underbrace{a^{a^{a^{.^{.^.}}}}}_b

Zu beachten ist die Rechtsassoziativität: a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne(a^b)^c. Diese gilt auch für die restlichen Operatoren. Zur Verdeutlichung wird auch von höheren Hyperoperationen gesprochen (in Abgrenzung zu den niederen Hyperoperationen mit Linksassoziativität). Schreibweisen für Hyperoperationen sind:

  • G(n, a, b) (Goodstein 1947), im Besonderen ba (Tetration), ba (Pentation), ab (Hexation).
  • On(a, b) (Goodstein[2]), im Besonderen M(a, b) (Multiplikation), E(a, b) (Potenzierung, englisch exponentiation), T(a, b) (Tetration), P(a, b) (Pentation), H(a, b) (Hexation), S(a, b) („Septation“, d. h. Heptation)
  • a(n)b (Munafo, eigentlich ein eingekreistes n), a(n)b für niedere n-Ation
  • a ↑n − 2b (Aufwärtspfeilschreibweise)
  • {a, b, n − 2} (BEAF)
  • a → b → (n − 2) (verkettete Pfeilschreibweise)

Von Konstantin Rubzow stammt eine Definition des hyper0-Operators:

ab = \begin{cases} a & b = -\infty \\ b & a = -\infty \\ a + 2 = b + 2 & a = b \\ a + 1 & a > b \\ b + 1 & b > a\end{cases}

Zeichenkodierung Bearbeiten

Unicode[3][4] stellt folgende eingekreiste Zeichen zur Verfügung:

Code Zeichen Name
Umschlossene alphanumerische Zeichen (2460–24FF)
Eingekreiste Zahlen (2460–2473)
U+2460 Eingekreiste Ziffer Eins
U+2461 Eingekreiste Ziffer Zwei
U+2462 Eingekreiste Ziffer Drei
U+2463 Eingekreiste Ziffer Vier
U+2464 Eingekreiste Ziffer Fünf
U+2465 Eingekreiste Ziffer Sechs
U+2466 Eingekreiste Ziffer Sieben
U+2467 Eingekreiste Ziffer Acht
U+2468 Eingekreiste Ziffer Neun
U+2469 Eingekreiste Zahl Zehn
U+246A Eingekreiste Zahl Elf
U+246B Eingekreiste Zahl Zwölf
U+246C Eingekreiste Zahl Dreizehn
U+246D Eingekreiste Zahl Vierzehn
U+246E Eingekreiste Zahl Fünfzehn
U+246F Eingekreiste Zahl Sechzehn
U+2470 Eingekreiste Zahl Siebzehn
U+2471 Eingekreiste Zahl Achtzehn
U+2472 Eingekreiste Zahl Neunzehn
U+2473 Eingekreiste Zahl Zwanzig
Eingekreiste lateinische Buchstaben (24B6–24E9)
U+24B6 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe A
U+24B7 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe B
U+24B8 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe C
U+24B9 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe D
U+24BA Eingekreister lateinischer Großbuchstabe E
U+24BB Eingekreister lateinischer Großbuchstabe F
U+24BC Eingekreister lateinischer Großbuchstabe G
U+24BD Eingekreister lateinischer Großbuchstabe H
U+24BE Eingekreister lateinischer Großbuchstabe I
U+24BF Eingekreister lateinischer Großbuchstabe J
U+24C0 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe K
U+24C1 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe L
U+24C2 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe M
U+24C3 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe N
U+24C4 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe O
U+24C5 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe P
U+24C6 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe Q
U+24C7 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe R
U+24C8 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe S
U+24C9 Eingekreister lateinischer Großbuchstabe T
U+24CA Eingekreister lateinischer Großbuchstabe U
U+24CB Eingekreister lateinischer Großbuchstabe V
U+24CC Eingekreister lateinischer Großbuchstabe W
U+24CD Eingekreister lateinischer Großbuchstabe X
U+24CE Eingekreister lateinischer Großbuchstabe Y
U+24CF Eingekreister lateinischer Großbuchstabe Z
U+24D0 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe a
U+24D1 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe b
U+24D2 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe c
U+24D3 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe d
U+24D4 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe e
U+24D5 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe f
U+24D6 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe g
U+24D7 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe h
U+24D8 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe i
U+24D9 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe j
U+24DA Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe k
U+24DB Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe l
U+24DC Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe m
U+24DD Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe n
U+24DE Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe o
U+24DF Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe p
U+24E0 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe q
U+24E1 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe r
U+24E2 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe s
U+24E3 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe t
U+24E4 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe u
U+24E5 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe v
U+24E6 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe w
U+24E7 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe x
U+24E8 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe y
U+24E9 Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe z
Zusätzliche eingekreiste Zahl (24EA)
U+24EA Eingekreiste Ziffer Null
Umschlossene CJK-Zeichen und -Monate (3200–32FF)
Eingekreiste Zahlen (3251–325F)
U+3251 Eingekreiste Zahl Einundzwanzig
U+3252 Eingekreiste Zahl Zweiundzwanzig
U+3253 Eingekreiste Zahl Dreiundzwanzig
U+3254 Eingekreiste Zahl Vierundzwanzig
U+3255 Eingekreiste Zahl Fünfundzwanzig
U+3256 Eingekreiste Zahl Sechsundzwanzig
U+3257 Eingekreiste Zahl Siebenundzwanzig
U+3258 Eingekreiste Zahl Achtundzwanzig
U+3259 Eingekreiste Zahl Neunundzwanzig
U+325A Eingekreiste Zahl Dreißig
U+325B Eingekreiste Zahl Einunddreißig
U+325C Eingekreiste Zahl Zweiunddreißig
U+325D Eingekreiste Zahl Dreiunddreißig
U+325E Eingekreiste Zahl Vierunddreißig
U+325F Eingekreiste Zahl Fünfunddreißig
Eingekreiste Zahlen (32B1–32BF)
U+32B1 Eingekreiste Zahl Sechsunddreißig
U+32B2 Eingekreiste Zahl Siebenunddreißig
U+32B3 Eingekreiste Zahl Achtunddreißig
U+32B4 Eingekreiste Zahl Neununddreißig
U+32B5 Eingekreiste Zahl Vierzig
U+32B6 Eingekreiste Zahl Einundvierzig
U+32B7 Eingekreiste Zahl Zweiundvierzig
U+32B8 Eingekreiste Zahl Dreiundvierzig
U+32B9 Eingekreiste Zahl Vierundvierzig
U+32BA Eingekreiste Zahl Fünfundvierzig
U+32BB Eingekreiste Zahl Sechsundvierzig
U+32BC Eingekreiste Zahl Siebenundvierzig
U+32BD Eingekreiste Zahl Achtundvierzig
U+32BE Eingekreiste Zahl Neunundvierzig
U+32BF Eingekreiste Zahl Fünfzig
Zusätzliche umschlossene alphanumerische Zeichen (1F100–1F1FF)
Eingekreiste kursive lateinische Buchstaben (1F100–1F1FF)
U+1F12B 🄫 Eingekreister kursiver lateinischer Großbuchstabe C
U+1F12C 🄬 Eingekreister kursiver lateinischer Großbuchstabe R

Die Schriftart Quivira[5] bietet im Block „teilweise umschlossene alphanumerische Zeichen“ (F220–F27F) Zeichen, die nur zur Hälfte umschlossen und mithilfe von Mittelstücken nach Belieben erweiterbar sind.

Code Zeichen Name
Linke Halbkreise (F220–F243)
U+F220 Links halb eingekreiste Ziffer Null
U+F221 Links halb eingekreiste Ziffer Eins
U+F222 Links halb eingekreiste Ziffer Zwei
U+F223 Links halb eingekreiste Ziffer Drei
U+F224 Links halb eingekreiste Ziffer Vier
U+F225 Links halb eingekreiste Ziffer Fünf
U+F226 Links halb eingekreiste Ziffer Sechs
U+F227 Links halb eingekreiste Ziffer Sieben
U+F228 Links halb eingekreiste Ziffer Acht
U+F229 Links halb eingekreiste Zahl Neun
U+F22A Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe A
U+F22B Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe B
U+F22C Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe C
U+F22D Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe D
U+F22E Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe E
U+F22F Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe F
U+F230 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe G
U+F231 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe H
U+F232 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe I
U+F233 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe J
U+F234 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe K
U+F235 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe L
U+F236 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe M
U+F237 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe N
U+F238 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe O
U+F239 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe P
U+F23A Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe Q
U+F23B Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe R
U+F23C Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe S
U+F23D Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe T
U+F23E Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe U
U+F23F Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe V
U+F240 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe W
U+F241 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe X
U+F242 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe Y
U+F243 Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe Z

(wird fortgesetzt)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Reuben L. Goodstein: Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory. In: The Journal of Symbolic Logic. Band 12, Nr. 4, Dezember 1947, S. 123–129, doi:10.2307/2266486 (online).
  2. Reuben L. Goodstein: Fundamental Concepts of Mathematics. 2. Auflage. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt: Pergamon Press, 1979, ISBN 0-08-021666-8, S. 41–42 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. [1]
  4. [2]
  5. [3]

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